지금까지 몰랐던 수학의 재미를 알았다!
문제가 쉽게 풀리는 짜릿한 수학 강의
수학을 포기하는 순간을 머릿속에 떠올려보자. 초등학교 때는 술술 풀리던 문제가 어느 순간 풀리지 않는다. 문제가 풀리지 않으니 곧바로 정답을 찾게 되고, 정답은 알았지만 과정을 스스로 따라가지 못해 비슷한 문제를 만나면 또 해결할 수가 없다. 점점 수학에 흥미가 떨어지고 끝내는 수학을 포기해버리고 만다.
현실이 이렇다 보니 수학은 선택받은 사람만 할 수 있다고 여기는 사람이 많다. 하지만 수학 역시 다른 과목처럼 부담 없이 다가가 배운 것을 문제에 적용하면 쉽게 해결할 수 있다. 여느 분야와 특별히 다른 부분이 없다. 그러나 배운 개념과 원리를 문제에 쉽사리 적용할 수 없는 이유는, 처음부터 성적을 매기는 용도로 만들어진 문제를 들이밀며 “이 문제를 바로 풀어내지 못하면 너는 수학에 재능이 없어!”라고 윽박질렀기 때문이다.
수학은 생각만큼 결코 어렵거나 딱딱하지 않다. 단지 글 대신 숫자와 도형으로 표현하는 방식에 익숙하지 않아 시간이 필요할 뿐이다. 천천히 개념을 익혀가며 소화시키면 수학을 포기할 이유도, 필요도 없다. 이제 단순한 문제 풀이와 공식 암기는 멈추고, 공부는 물론 일상에서 마주치는 문제까지 정확하게 이해하고 해결하는 도구로서의 수학을 자유롭게 활용해보길 바란다. 책을 펼치는 순간, 수학이라는 무기를 장착한 여러분의 문제해결력은 몰라보게 달라질 것이다.
수식 속에 가려진 수학의 본질을 만나다
그림과 스토리로 쉽게 이해하는 수학의 원리
학교에서 수학을 전혀 배우지 않은 사람은 없을 것이다. 하지만, 실제로 수학을 잘 안다고 말할 수 있는 사람 역시 거의 없는 것이 현실이다. 이 모순은 ‘수학은 문제 푸는 과목’이라는 생각이 뿌리 깊게 박혀 있기 때문이다. 학교에서는 오랫동안 변별력을 핑계 삼아 학생들을 줄 세우는 도구로 수학을 이용해왔다. 하지만 수학은 공식을 외우고 문제를 풀어 답을 내는 일보다, 생각을 논리적으로 정리하고 표현하는 일을 더 중요하게 여기는 과목이다.
이 책에는 분명 수학 공부를 할 때 배웠던 개념과 원리들을 정리하고 있지만, 학교에서 배우는 수학과는 다르게 느껴지는 부분이 많다. 그림과 이야기는 물론, 배운 개념과 원리를 적용해 수학적 사고력을 키워주는 퍼즐 등 다가가기 편한 소재로 수학의 ‘본질’에 한층 가까워질 수 있도록 도와준다. 수학이라는 단어만 들어도 몸서리치는 사람들을 위해 수학을 수식이 아닌 일상의 언어로 풀어냈다. 복잡한 수식을 걷어낸 수학이 생각보다 쉽고 매력적이라는 사실을 아는 순간, 수학 문제는 두려운 존재가 아니라 오히려 지적 호기심과 스트레스를 자유롭게 해소할 도구가 될 것이다.
음수, 무한, 함수, 기하학, 확률, 통계
2% 부족했던 개념을 이해하는 순간 수학의 진짜 재미가 보인다
“음수와 음수를 곱하면 양수가 된다.” 학교에서 수학을 조금이라도 배운 사람이라면 당연한 말이라며 고개를 끄덕일 것이다. 하지만, 왜 음수와 음수를 곱했는데 양수가 되는 것인지, 그 속에 숨은 음수의 성질을 정확하게 이해하는 사람은 많지 않을 것이다. 음수 자체는 ‘–15도의 맹추위’ ‘올해 경제 성장률 –2% 전망’ 등 일상 곳곳에서 자주 쓰인다. 하지만 음수와 음수를 곱했을 때 양수가 되는 실제 사례는 거의 없다. 예를 들어 빚(-)과 빚(-)을 곱하면 빚(-)만 더 늘어날 뿐 소득(+)이 되지 않는다. 따라서 음수×음수=양수를 이해하기 위한 다양한 방법이 시도되어 왔는데, 그중 하나로 수직선을 활용할 수 있다. 수직선을 그리고 오른쪽에는 양수를, 왼쪽에는 음수를 차례로 배열한다. 그러면 (-2)×(-3)은 –2를 –2의 반대 방향인 오른쪽으로 세 번 이동한 것과 같다. 따라서 답은 양수인 6이 된다.
함수 역시 가장 이해하기 어려운 수학 개념으로 꼽힌다. 하지만 사실 함수의 기본 원리는 매우 단순하다. 두 집합의 원소의 개수가 같으면, 두 집합은 남는 원소 없이 하나씩 짝을 지을 수 있는 관계가 된다. 이 단순한 개념을 ‘일대일 대응’이라고 하며 함수의 핵심 원리이기도 하다. 그러나 천재 수학자 가우스조차 이 간단한 일대일 대응을 쉽사리 인정하지 못했다. 그 이유는 자연수의 집합과 짝수의 집합 사이에 일대일 대응이 성립한다는 사실 때문이었다. 자연수의 절반이 짝수이므로 두 집합의 원소 개수는 같을 수가 없는데, 어떻게 일대일 대응이 성립하는 것일까? 이 문제는 무한을 활용한 집합론이 정립되면서 해결되었다.
이처럼 학교에서는 진도를 나가기 바빠 미처 다루지 못했던 수학 개념들을 자세히 뜯어보면, 그 안에는 수학의 기본 개념들이 서로 연결되어 있다. 이 개념들을 따라가다 보면 도저히 이해되지 않아 포기했던 문제들의 핵심 원리가 보이고, 재미와 호기심으로 가득한 수학의 본모습에 한층 가까이 다가설 수 있다.
