이 책은 브라운과 처칠의《복소 함수론과 그 응용》제9판을 번역한 것이다. 원서를 기준으로 제9판은 제8판에 비해 쪽수는 전체적으로 7쪽이 줄었다. 이것은 설명한 내용이 줄거나 익힘 문제가 줄었기 때문이 아니라, 글자 크기를 줄이고 수식의 위와 아래 간격을 줄인 결과이다. 오히려 제9판은 제8판에 비해 늘어났다고 볼 수 있는데, 절의 개수는 12개 늘어 140개의 절 이 되었고, 그림도 5개가 늘어 199개가 되었다. 이것은 제8판에 이어 설명을 더욱 체계적이고 명확하게 하고 학습 효과를 더욱 높이기 위한 지은이의 배려로 보인다. 이렇게 변화된 내용은 지은이 머리말에 상세히 설명되어 있다. 이처럼 크게 바뀌고 새롭게 설명한 부분도 많아서, 이 제9판은 새로운 책을 옮기는 것과 같았다.
이 책의 또 다른 특징으로 복소 해석학의 응용을 들 수 있다. 이 책의 목적은 복소 함수론의 응용에 필요한 이론의 전개 및 유수와 한꼴(등각) 사상의 응용에 대한 소개이다. 이렇게 이 책은 응용을 중시하고 있으며, 열의 전도, 정전기 퍼텐셜, 유체 흐름 등과 같은 여러 분야의 연구에 필요한 수학 도구를 제공하고 있다. 이에 따라 이 책은 수학을 전공하는 학생뿐만 아니라 물리학과 공학을 전공하는 모든 학생에게 큰 도움이 될 것이다.
이 책에는 언제나 다음과 같은 두 가지 주요한 목적이 있다.
(a) 첫째 목적은 복소 함수론의 응용에서 중요한 이론을 전개하는 것이다.
(b) 둘째 목적은 유수 및 한꼴 사상의 응용을 소개하는 것이다. 유수의 응용에는 실 특이 적분을 셈하고 역 라플라스 변환을 찾으며 함수의 영점의 위치를 정하는 유수의 쓰임새를 포함했다. 한꼴 사상의 경우에는 열의 전도와 유체 흐름의 연구에서 나타나는 경곗값 문제를 풀 때 한꼴 사상의 쓰임새에 상당한 관심을 기울였다. 그러므로 이 책은 편미분 방정식의 경곗값 문제에 관한 고전적인 풀이 방법을 전개한 이 책의 저자들이 쓴《푸리에 급수와 경곗값 문제(Fourier Series and Boundary Value Problems)》와 짝을 이루는 교재로 생각할 수 있다.
여기서 이 개정판에서 바뀐 사항을 몇 가지 나열하겠다. 이 중에서 일부는 이 책으로 배운 학생들과 가르친 분들의 제안이었다. 몇 개의 주제는 원래의 위치에서 이동시켰다. 이를테면 조화 함수는 여전히 제 2 장에서 도입하는데, 켤레 조화 함수는 그것이 실제로 필요한 제 9 장으로 옮겼다. 이렇게 옮긴 또 다른 보기는 대수학의 기본 정리(제4장)를 증명하는 데 필요한 중요한 부등식을 제1장에서 밝혔는데, 제1장에는 이 중요한 부등식과 관련된 부등식들이 소개되어 있다. 부등식들을 이렇게 모으면 독자는 이런 주제에 집중할 수 있는 장점이 있고, 곁길로 새어 산만해지지 않으면서 대수학의 기본 정리를 간략하고 효율적으로 증명할 수 있다. 제2장에서 사상의 개념을 도입하는 내용은 이개정판에서 약간 짧아졌는데, 이 장에서는 사상 만을 강조했다. 제2장에서 필요한 사상의 개념을 예시하기 위해서는 을 상세히 고려하면 충분하다는 제8판의 독자 일부의 제안에 따라 이렇게 했다. 마지막으로, 제5장에서 찾아내고 논의하는 테일러 급수와 로랑 급수 대부분은 독자가 단지 여섯 개의 매클로린 급수에 친숙하면 충분함을 보여준다. 이에 따라 이 여섯 개의 급수를 한 곳에 모아 함께 제시했는데, 독자가 다른 급수를 전개하면서 그것들이 필요할 때마다 그것들을 찾아 헤매지 않도록 하기 위함이다. 또 제5장에는 의 음의 거듭제곱들과 관련된 급수 표현만을 다루는 별도의 절을 테일러의 정리 다음에 넣었다. 경험에 따라, 이것이 테일러 급수에서 로랑 급수로의 전환을 자연스럽게 하는 데 매우 쓸모 있음을 알게 됐다.
