프롤로그
상상력이 만드는 경이로운 수학의 세계
수학에 왕도는 있다 | 철학으로 수학을 사유하다 | 권위를 내버린 유쾌한 수학 속으로

제1장
수학의 초상화들 _진리 게임을 넘어서
진리 게임 | 수학자와 봉숭아 학당 | 모든 수학 이론이 수학적 진리와 무관하다는 것의 수학적 증명 | 수학의 본질은 자유다 | 수학의 초상화들

제2장
근대 과학혁명과 수학 _자연을 수학화하라!
마술과 과학 | 갈릴레오, 혹은 과학의 탄생 신화 | 자연의 수학화 | 우주의 수학과 수학적 우주 | 과학의 힘, 수학의 힘 | 분석적 이성의 바깥

제3장
계산공간의 탄생 _수학화된 세계를 향한 첫걸음
코끼리-기계와 뭉개진 탑 | 예술의 가치를 계산하다 | 계산할 수 있는 수와 계산할 수 없는 수 | 화폐, 계산하는 세계의 문 | 두 눈 속의 계산공간 | 기하학의 대수화 | -2와 의 근본적 차이 | 기하학적인 수와 대수적인 수 | 기하학의 흔적을 지우자! | 해석기하학의 초대장 | 수학적 계산공간의 탄생

제4장
수학의 마술, 혹은 마술사의 수학 _미적분학의 ‘비밀’
악마의 수학, 수학의 악마 | 캘큘러스 박사의 운동화(運動畵) | 운동화의 물리학 | 캘큘러스 박사의 비밀 | 무한소와 미분비 | 운동의 물리학에서 접선의 수학으로 | 미분법을 뒤집어 원시함수로! | 곡선의 면적, 혹은 □으로 ○ 만들기 | 적분, 무한히 얇게 쪼개 합치는 기술 | 무한소의 융통성 | 적분을 하면 모든 면적이 같아진다고? | 오, 미분법의 영광이여!

제5장
세계를 수학화하려는 꿈 _17~18세기 수학의 풍경
캘큘러스, 해석학의 시대 | 계산 가능한 세계를 향하여 | 보편수학, 혹은 수학의 이념 | 17~18세기 수학의 네 가지 축 | 17~18세기의 수학적 공간

제6장
해석학의 위기, 기하학의 모험 _엄밀성의 강박과 위험한 창안 사이
스페이드 나라의 앨리스 | 마침내 수학의 위기가 도래하리니 | ?2?2?2?2?2?2……=0? | 마녀의 역설 | 온 세상이 다 들어가는 구슬 | 새로운 기하학의 공적을 빼앗기다 | 구슬공간의 기하학 | 구슬공간과 유클리드공간 | 근대 수학, 위기와 모험 | 해석학의 위기 | 비유클리드기하학과 새로운 대수학

제7장
산수와 대수의 힘 _수학의 천국으로 가는 길
‘끄달려선 안 된다’는 생각에 끄달리다 | 칼리가리의 세 예언 | ‘존재한다’는 것만으로도 충분한가? | 수학적 수수께끼의 단서들 | 가우스가 준 뜻밖의 선물 | 기하학의 기초, 기하학의 분열 | 마술사 칼리하리를 만나다 | 메피스토 왈츠 | 해석학의 산수화 | 변환의 불변성과 기하학 | 모든 점에서 연속인데 모든 점에서 미분 불가능한 함수 | 수학과 도(道)

제8장
집합론, 무한을 셈하다 _무한집합의 역설들
19세기의 수학 정신 | 표준해석학과 범기하학 | 칸토어 박사, 판도라의 상자를 열다 | 자연수만이 실재한다? | 수란 무엇이며 무엇이어야 하는가? | 무한을 세는 방법 | 셀 수 있는 무한, 셀 수 없는 무한 | 대각선을 공략하라! | 길고 짧은 건 재보면 똑같다 | 연속체의 농도 | 우주공간의 모든 점들을 바구니 안에 담는 방법 | 초한수, 무로부터 나온 무한들 | 집합론의 역설

제9장
역설 없는 수학을 찾아서 _수학기초론의 세 가지 길
무한소의 역설에서 무한대의 역설로 | 자연수와 실수 사이의 심연 | 역설의 시대 | 이발사의 역설, 거짓말쟁이의 역설 | 자기에 대해 말하지 말라 | 내용 없는 형식으로서의 수학 | 형식 체계의 무모순성은 해석에 의존한다 | 형식주의, 논리주의, 직관주의 | 배중률과 귀류법을 포기하자! | 공리계의 완전성과 무모순성 | 수학적 엄밀성의 진혼곡

제10장
불완전성의 정리 _수학의 심연, 혹은 열린 경계
수학과 원초적 본능 | 서로 그리는 손의 역설 | 내재하는 외부 | CAP(Computer Aided Prison), 완전한 감옥 | 아킬레스와 괴델 | ‘이 명제는 증명할 수 없다’를 증명할 수 있다면 | 문장을 수로 바꾸는 방법 | 괴델수와 괴델의 정리 | 자연수, 너마저도! | 연속체 가설로 아킬레스를…… | 감금의 연속체, 탈출의 연속체 | 결정 불가능한 명제와 열린 경계

제11장
두 개의 수학 삼각형 _19세기 수학의 풍경
‘계산’의 시대에서 ‘기초’의 시대로 | 두 개의 수학 삼각형 | 19세기 수학적 기획의 선들 | 기초 없는 수학을 위하여

에필로그
수학의 외부를 상상하는 즐거움
추상과 횡단 | 수학의 외부