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집합론
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집합론

  • 김진홍
  • |
  • 경문사
  • |
  • 2019-12-27 출간
  • |
  • 251페이지
  • |
  • 188 X 257 X 24 mm /557g
  • |
  • ISBN 9791160733129
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출판사서평




이 책은 보통 대학교 2학년 과정에서 개설되는 집합론 강의를 위한 교재이다. 집합론 강의는 해석학, 대수학, 위상수학 등을 수강하기 위한 필수적인 내용을 포함하고 있으며 거의 모든 분야에서 폭넓게 활용되는 일종의 기초 과목이다.
집합론의 학문적 심오함에 비하여 대학교 과정의 집합론 강의는 기본적인 내용을 중심으로 이루어지고 있다. 이 책은 대학교 수준의 집합론 강의에서 다루어지는 핵심적인 개념과 원리를 소개하였고, 다음과 같이 8개의 장으로 이루어져 있다.

제1장에서는 집합론을 공부하기 위해 필요한 수리논리학의 기초적인 내용을 다룬다. 특히 1장에서 ‘수학적 귀납법’을 자세하게 소개하였다.
제2장에서는 자연수를 구성하기 위해 필요한 ‘페아노 공리’를 자세하게 소개하였다.
제3장은 집합론의 주요 대상인 ‘집합’의 기본 성질을 정리하였다. 유클리드 기하학이 무정의 용어를 허용하는 것과 같이 집합을 정의하기 위해서는 ‘모임’, ‘원소’와 같은 무정의 용어를 허용해야만 한다. 또한 제3장에서는 주어진 집합의 ‘멱집합’에 관한 성질을 자세히 알아보았다.
제4장은 ‘관계’와 ‘함수’를 다룬다. 일반적으로 중ㆍ고등학교에서 함수를 정의하는 방식에는 약간의 문제가 있다. 보통 고등학교 수준에서는 함수를 두 집합의 원소 사이의 대응 규칙으로 정의한다. 하지만 이 정의는 함수라는 새로운 개념을 정의하기 위해 “규칙”이라는 또 다른 개념을 도입했다는 점에서 큰 문제점을 내포하고 있다. 함수보다 더 일반적인 개념인 ‘관계’를 먼저 정의하고 관계를 이용하여 함수를 정의하면 이와 같은 모호함을 쉽게 극복할 수 있다.
제5장은 ‘무한집합’과 ‘유한집합’의 성질을 정리하였다. 보통의 경우에는 유한집합을 먼저 정의하고 유한집합이 아닌 집합을 무한집합으로 정의한다. 하지만 이와 같은 정의 방식은 무한집합의 흥미로운 성질을 이해하는데 효과적이지 않다. 따라서 이 장에서는 데데킨트의 정의에 따라 무한집합을 먼저 정의하고 무한집합이 아닌 집합을 유한집합으로 정의한다. 제5장에서는 ‘가부번집합’과 ‘비가부번집합’의 개념도 소개한다. 특히 실수의 열린구간이 비가부번 무한집합임을 보여주는 ‘칸토어의 대각법’도 자세히 살펴본다.
제6장은 집합의 크기를 정량화하기 위한 개념인 ‘기수’를 공리계를 통해 도입하고 기수의 연산인 덧셈, 곱셈, 거듭제곱과 그와 관련된 여러 가지 성질을 알아본다.
제7장은 제8장에서 다룰 순서수의 개념을 위한 준비 단계로 볼 수 있다. 이 장에서는 먼저 선택공리를 정확하게 서술하고 그와 동치인 명제인 ‘하우스도르프 극대원리’, ‘조른의 보조정리’, ‘정렬원리’를 자세히 알아본다. 특히 제7장에서는 응용 분야에서 중요하게 사용되는 ‘격자’에 대한 소개와 그 성질을 알아보는 기회를 가진다.
마지막으로 제8장에서는 ‘순서수’를 순서수의 공리계를 통해 도입하고 순서수의 연산인 덧셈과 곱셈의 정의와 성질을 알아본다.

이 책은 내용과 구성 면에서 Lin-Lin의 저서 [4]와 [7]의 영향을 많아 받았다. 이 책이 집필되기 위해 Lin-Lin의 저서 이외에도 [1], [2], [3], [5], [6], [8], [9]이 참고되었다.
이 책의 각 절의 끝에 제시된 연습문제는 기존에 잘 알려진 문제와 더불어 새로운 문제로 구성되어 있다. 독자의 이해의 폭을 넓히기 위해 가능하면 참신하고 창의성이 높은 문제를 제시하였다.
[1] 계승혁, 집합과 수의 체계, 경문사, 2017.
[2] 송형수, 기초 집합론, 교우사, 2008.
[3] 이장우, 현대집합론의 원리, 3판, 경문사, 1990.
[4]You-Feng Lin and Shwu-Yeng T. Lin. 집합론(이홍천), 개정증보판, Houghton Mifflin(1974), 2011.
[5] Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, Academic Press, 1977.
[6] Karel Hrbacek and Thomas Jech, Introduction to Set Theory, Marcel Dekker, 1984.
[7] You-Feng Lin and Shwu-Yeng T. Lin, Set Theory: An Intuitive Approach, Houghton Mifflin, 1974.
[8] James R. Munkres, Topology, Prentice Hall, 2000.
[9] Charles C. Pinter, Set Theory, Addison-Wesley Publishing Company, 1971.


목차


■머리말

제1장 수리논리학의 기초
1.1 명제와 결합자
1.2 항진, 모순, 함의, 동치명제
1.3 한정규칙
1.4 논증의 타당성
1.5 수학적 귀납법

제2장 페아노 공리
2.1 페아노 공리
2.2 자연수의 덧셈
2.3 자연수의 곱셈

제3장 집합의 개념
3.1 집합과 부분집합
3.2 합집합과 교집합
3.3 차집합과 여집합
3.4 첨수집합족 67
3.5 러셀의 역설

제4장 관계와 함수
4.1 데카르트곱
4.2 관계
4.3 함수
4.4 단사함수와 전사함수
4.5 함수의 합성과 역함수

제5장 무한집합과 유한집합
5.1 무한집합과 유한집합
5.2 집합의 대등
5.3 가부번집합
5.4 비가부번 무한집합

제6장 기수와 그 연산
6.1 기수와 기수의 대소
6.2 칸토어-슈뢰더-베른슈타인 정리
6.3 칸토어의 정리와 연속체 가설
6.4 기수의 연산

제7장 선택공리와 동치인 명제
7.1 선택공리
7.2 부분순서집합과 전순서집합
7.3 하우스도르프 극대원리
7.4 조른의 보조정리
7.5 정렬원리
7.6 초한귀납법의 원리

제8장 순서수와 그 연산
8.1 순서수와 순서수의 대소
8.2 순서수의 연산
8.3 브랠리-포르티 역설

■참고문헌
■찾아보기
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